A Cavalieri-elv

1. Az elv talán legismertebb alkalmazásának segítségével vezethetjük le a gömb térfogatának képletét. Az egymás mellett lévő gömböt és hengert (r:m=1:2), melyből kivágtunk két kúpot (tengelymetszete egyenlőszárú derékszögű háromszög), elmetsszük különböző síkokkal. Belátható, hogy a síkmetszetek (kör, illetve körgyűrű ) azonos területűek, minden magasságban. A Cavalieri elv szerint ilyen esetben a két test térfogata is egyenlő. A kúp illetve henger térfogatának ismeretében a gömb térfogata is kiszámítható.

2. Ha két gúla alapjai azonos területűek és a gúlák magassága azonos, akkor a két gúla térfogata is egyenlő. Az egyik síkot az alapsíkkal párhuzamosan mozgatjuk. Belátható itt is a síkmetszetek egyenlő területe, és így a térfogatok egyenlősége az előbb említett elv szerint.

3. Azonos alapterületű és magasságú gúla ill. hasáb térfogatainak 1:3.A tételt háromoldalú hasábra és gúlára látjuk be úgy, hogy a hasábot szétvágjuk három azonos térfogatú gúlára, melyek közül az egyiknek (zöld színű) azonos az alaplapja a hasáb alaplapjával. Az első ábrán három különböző színnel jelöljük a gúlákat, bemutatva a hasáb szétvágását. Ha az egérrel ráközelítünk az ábrára és kattintunk vele, akkor a piros gúlát különválasztjuk és a másik kettő mellé tesszük. Mivel a piros és a zöld gúla 2 lapja egybevágó (ezek egyben a hasáb alaplapjai) és magasságuk azonos, ezért az előbbi tétel miatt térfogatuk is egyenlő.Ha az egérrel újra kattintunk, beláthatjuk, hogy a kék és zöld gúla is egyenlő térfogatú, hiszen a gúlákat az alapsíkra forgatva láthatjuk, hogy alapterületük és magasságuk nyilvánvalóan azonos - a 2. tétel miatt most is egyenlőek a térfogatok.