A többnyelvű internetes matematikai fogalomtár

Ma már egyre fontosabb, hogy a modern technika adta lehetőségeket tanáraink felkészülten tudják használni, illetve szerepeltetni a tanítás során és a tantervekben. Ezáltal újfajta tanítási stílust alkalmazhatnak, hatékonyabb segítséget adva a tanulóknak a különféle tanulási módszerekhez. Ez az útmutató egyrészt bepillantást nyújt bizonyos tanítás- és tanulás-módszertani elvekbe, amelyek a fogalomtár elkészítését vezérelték, másrészt segítséget kíván nyújtani a fogalomtár hatékony használatához különféle tanítási szituációkban. A fogalomtár elkészítésén munkálkodók megosztották egymással ötleteiket, a különféle szakterületek képviselői, az alap-, közép- és felsőoktatásban résztvevők szoros együttműködésével. E leírás több szempontból is tükrözi ezt a filozófiát: az általános értelemben vett tanulói közösség együttműködését a tudás megszerzésének érdekében.

A bemutatandó tanpéldákon kívül az útmutató olyan szituációkat is körvonalaz, amelyek felhasználhatók például tanárok továbbképzéséhez, a technikai eszközök és erőforrások hozzáértő alkalmazásához, illetve a modern technológiára alapozott tanítás- és tanuláshoz.

Ez az útmutató számos példán keresztül illusztrálja, hogyan segíthet a fogalomtár akár az alaptantervi, akár az azon kívül eső matematikai fogalmak és gondolatok felfedezésében. Az útmutató célja, hogy támogatást nyújtson tanároknak és diákoknak, hogy saját gondolkodásmódjukkal alkalmazhassák a matematikát újfajta összefüggésekben, illetve, hogy saját tudásukat matematikailag ösztönző kérdéseken és problémákon keresztül bővíthessék ki.

A fogalomtár több egy szótárnál

Amellett, hogy a fogalomtár a matematikai fogalmak definícióit megadja, össze is kapcsolja őket egymással, így segítve elő új fogalmak felfedezését. Például a kör fogalmán keresztül a mértani helyhez juthatunk el, majd azon keresztül még általánosabb fogalmakhoz. A fogalomtár további jellegzetessége, hogy a matematikai fogalmakhoz általában több, különböző szintű magyarázat vagy példa is tartozik, amelyekből mindenki kiválaszthatja magának a saját matematikai tudásához legjobban illőt. Ez a szint persze egyénenként is változhat: lehet valaki nagyon jó síkgeometriából, miközben az analízishez keveset ért.

Habár a fogalomtár sok információt foglal magában, semmilyen értelemben sem lehet teljes. A fogalomtárból indítható keresőprogramok segítségével azonban kényelmesen hozzáférhetünk az interneten fellelhető egyéb matematikai tartalomhoz és adatbázisokhoz, így a minket érdeklő fogalmat más webhelyeken további példákon vagy alkalmazásokon keresztül is tanulmányozhatjuk. A fogalomtár tehát kapuként is szolgál: csak rajtunk múlik, hogy elindulunk-e további felfedezésekre.

A fogalomtár szavai összefüggésükben egy fogalmi hálóban is megtekinthetők. Ebben a gráfnézetben láthatóvá válik, hogyan kapcsolódnak a fogalmak egymáshoz: közöttük milyen alá-fölérendelt, mellérendelt vagy egyéb viszony áll fenn.

A fogalomtár nem utolsósorban nagyszámú (statikus vagy interaktív) ábrát és animációt is tartalmaz, amelyek nagymértékben elősegítik a matematikai fogalmak befogadását.

A fogalomtár használata: néhány gyakorlati tanács

Azon kívül, hogy a fogalomtárral mindenki egyénileg ismerkedik meg, hasznos lehet, ha a fogalomtárat jobban ismerő diákok segítik társaikat az ismerkedésben, hiszen számos előnnyel jár, ha egyenrangú felek tanulnak együtt. Ha mindez szervezetten történik, a diákok közötti kommunikáció hatékonyabb lehet, és kevésbé is érzik magukat feszélyezve.

A diákoknak kiosztott feladatok megoldása során szükség lehet a fogalomtár, illetve más matematikai irodalmak használatára. Számukra hasznos, s emellett problémamegoldó képességüket is fejleszti, ha a tankönyveken kívül más munkákban is utánanéznek és önállóan is megismerkednek a felvetett kérdésekkel.

A tanárnak el kell döntenie, a fogalomtár használatára milyen módon tud sort keríteni. Ha a fogalomtárat a tanár az órán kívánja használni, akkor először is tervet kell készítenie. Természetesen a fogalomtár helye és szerepe az órán belül sokféle lehet, így az alábbiak csak néhány ötletet vázolnak.

1. példa. Százalékszámítás

Egy háromrészes óra, melynek során például az alábbiak szerint használható a fogalomtár.

Kezdeményezzünk párbeszédet a diákok, vagy a diákok és a tanár között, illetve egy elképzelt szituációban vessünk fel egy konkrét problémát:

Egy számítógépes üzletben nyomtatót szeretnénk venni. Eredetileg a nyomtatót nettó 25000 Ft-ért adták, de mától erre a típusra már 20% árengedmény jár. Mikor járunk jobban, ha a bolt a 25%-os ÁFÁ-t a leértékelés előtt vagy pedig utána számítja bele az árba?

Először általában különféle érvek és vélemények hangzanak el, majd a legjobb taktika megválasztása és megvitatása következhet, melyet számítással kísérhetünk.

A fő tanítási rész folyamán a fogalomtárat használjuk. Megállapodunk egy megoldásban és általánosíthatjuk is az eredményt. Más példákat is megvizsgálhatunk, úgy mint:

Elhelyezünk egy bankban 25000 Ft-ot 5%-os éves kamattal. Hány év alatt duplázódik meg a pénzünk?

A fenti problémát sokféleképpen megoldhatjuk, például algebrailag vagy esetleg fokozatos közelítésekkel, iteratív módon. A tanár koordinálja az elhangzó ötleteket és a választandó módszereket.

Alsóbb osztályokban a tanár sok-sok hasonló példát említhet. Tagozatos gimnáziumi osztályokban az óra középső részét kibővítheti azzal, hogy a szorzáson alapuló, multiplikatív struktúrákról ejt szót, majd összehasonlítja őket az összeadáson alapuló, additív struktúrákkal.

2. példa. Hasonlósági transzformációk

A geometriai hasonlóság, a nagyítás témakörének tanítása közben a tanár ötletet meríthet például az alábbiak közül.

1. foglalkozás

Vegyünk egy négyzetet, amely egy egyenesen fekszik, és az ábra szerint jelöljük ki az egyik csúcsát. Görgessük végig a négyzetet az egyenesen és figyeljük meg a zölddel jelölt csúcs pályáját.

A diákok az alábbihoz hasonló ábrát fogják lerajzolni:

Elképzelhető, hogy egyes diákoknak kezükbe kell venniük egy „valódi” négyzetet, és azzal kell elvégezniük a feladatot, vagy megnézni egy animációt, hogy megkapják a fenti ábrát.

Ezután a tanár felteheti a kérdést, hogy mennyi a mozgó csúcs által kirajzolt görbe alatti terület.

A diákok válasza különböző lehet.

1. Egyesek az vagy a képleteket használva akarnak megoldást adni.

2. Más diákok rájöhetnek, hogy a bal- és jobboldali ívek egyforma hosszúak és ugyanakkora területet fognak körül. A középső ívet a másik két ívből -szeres nyújtással kapjuk, amelyből az következik, hogy a terület a duplájára nő.

Néhány tanuló le is vezetheti az alábbi képletet:

Az a diák, aki az a)-beli megközelítést választotta, nyilván megtanulta és ismeri az és a képleteket, és megfelelő szituációban használni is tudja azokat. Akik a b)-beli megközelítést választották, azok gondolkodása sokkal inkább fogalmi, relációkon alapuló.

Az eredeti négyzetet a görgetés közben nagyítási és hasonlósági transzformációknak is alávethetjük.

Azok a tanulók, akik valóban értik a felhasznált fogalmakat, azonnal meglátják a probléma lényegét. Akik viszont nem értik a problémát, de megjegyeztek egyfajta módszert, azok lépésenként haladhatnak a megoldás felé, mégsem lesznek képesek tudásukat alkalmazni a szokásostól eltérő szituációban.

A fogalomtárat használva a tanulók kiépíthetik saját fogalmi rendszerüket és tanári vezetés nélkül is belekezdhetnek a problémamegoldásba.

2. foglalkozás

A hasonlóság, a kicsinyítés és nagyítás fogalmának érdekes alkalmazásáról. Tekintsük például az alábbi transzformációt.

Mi történik, ha egy nagyobb négyzetet egymás után többször q-szorosára lekicsinyítünk? (Tegyük fel, hogy a pozitív q szám kisebb, mint 1.) Kezdjük azzal az egyszerű esettel, amikor csak egyszer kicsinyítünk:

Elérhetjük-e ugyanezt a végeredményt másféle módon? Mi a nagyítás középpontjának szerepe? Hogyan tudnánk pontosan megszerkeszteni a második négyzetet egyenes vonalzóval, körzővel és háromszögvonalzóval?

A legtöbb diák számára ezek a kérdések elegendőek lehetnek, de talán sokan készek megvizsgálni, mi történik, ha a kisebb négyzetet egy még kisebb négyzetté transzformáljuk, és az eljárást folytatjuk.

Végül tehát az alábbi összefüggések adódnak:

vagy

A gondolatmenetet folytatva:

A nagy, színes ABC háromszög hasonló a kisebbik zöldhöz. Ezért megfelelő oldalaik aránya egyenlő:

, amiből

adódik. Megkaptuk tehát a végtelen mértani sor összegképletét, amennyiben a pozitív q kvóciens értéke 1-nél kisebb. Ez az önmagában is érdekes eredmény konkrét motivációt adhat a végtelen sorok fogalmához.

Ha a fogalomtárban az összeg vagy összegzés szavakra rákeresünk, eljuthatunk a mértani sorok összegzéséhez és a végtelen mértani sor összegképletéhez is.

A fogalomtár szerepe ebben a példában az, hogy független forrásként megtalálhatók benne a kapcsolódó definíciók és grafikus animációkkal tarkított példák: a sorok összegzésének fogalma a tehetségesebb diákoknak további motivációkat biztosít. Más matematikával foglalkozó webhelyekre ­– pl. a KöMaL oldalaira vagy az NRICH honlapjára – is mutatnak linkek, szélesebb kontextusba helyezve így az adott fogalmat. Ebben az esetben például az NRICH oldalán egy olyan programot találhatunk, amellyel elkészíthetjük a mértani sor összegképletének bizonyítását.

3. példa. Valószínűségszámítás

A tanulókat arra kérjük, hogy két dobókockával dobva számítsák ki a dobott pontok összegét, valamint különbségét, továbbá vegyék az összeg és különbség szorzatának utolsó számjegyét. Írjuk fel az eredményeinket táblázatos formában és vizsgáljuk meg, milyen szabályszerűségeket fedezhetünk fel.

A fenti feladat Varga Tamás ötletén alapszik. Az alábbi táblázatban az összes lehetséges elemi eseményt felsoroltuk, a két kockát a lila és sárga színekkel jelölve.

	1	2	3	4	5	6
1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6
2	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6
3	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6
4	4,1	4,2	4,3	4,4	4,5	4,6
5	5,1	5,2	5,3	5,4	5,5	5,6
6	6,1	6,2	6,3	6,4	6,5	6,6

Foglalkozzunk először például a dobott pontok összegével. Vizsgáljuk meg rendre, hányféleképpen jöhet ki az összegre az 1, 2, 3, …, 12 számok valamelyike. Nyilván a dobott pontok összege 1 sosem lehet: ez tehát lehetetlen esemény. Hasonlóan folytatva az alábbi gyakorisági táblázatot kapjuk:

Ezt a grafikus módszert természetesen nemcsak az összeadás, hanem a többi művelet esetén is végigkövethetjük, konkrét reprezentációt nyerve a valószínűségekre.

Következzék most néhány erre alapozott ötlet órai feldolgozása, melyeket korosztályok szerint csoportosítottunk.

1. foglalkozás: 6-11 éves korosztály számára

A tanár előre felrajzol 10 párhuzamos vonalat az udvaron (vagy az osztályban), egymástól körülbelül fél méterre. Az első vonalon bejelöli 1-től 12-ig a számokat:

Minden egyes számozott helyre álljon egy-egy diák, majd dobjunk a két dobókockával. Kiszámítva a dobott pontok összegét, a megfelelő helyen álló diák egyet előrelép.

A tanár ezután megkérdezheti a tanulóktól, hogy szerintük mi fog történni. Néhány dobás után megállunk, és megkérdezzük, hányas számú tanuló fog legelőrébb jutni?

Többféle tipp lehetséges, de az 1-es helyen álló gyerek hamar rájön, hogy semmi esélye sincs a továbbhaladásra, így elképzelhető, hogy abba akarja hagyni a játékot. Ekkor megkérdezhetjük tőle, hogy kivel szeretne helyet cserélni.

A legfiatalabb korosztállyal talán elég eddig eljutnunk: nem minden kimenetel egyformán valószínű és bizonyos kimenetelek lehetetlenek. A foglalkozás folytatásaként egyetlen dobókockával is dobhatunk, vagy másfajta számításokat is végezhetünk, így érzékeltetve olyan eseményeket, amelyek kimenetelének különböző a valószínűsége.

A fogalomtárban megkereshetjük a valószínűség és a hozzá kapcsolódó fogalmak definícióját. A szócikkekből további oldalakra mutató hivatkozásokon keresztül pedig például valószínűségszámítással kapcsolatos játékokkal ismerkedhetünk meg.

2. foglalkozás: 11-13 éves korosztály számára

Ebben a szituációban a tanulóknak nem feltétlenül kell aktívan részt venniük a dobott pontok megjelenítésében, ehelyett a tanár egyszerűen csak utalhat a fent már megismert gyakorisági táblázatra, ezzel segítve elő a tanulók döntéseit.

A gyakorlatot párban végezhetik a diákok. A pár mindkét tagjának egy-egy 12 fős képzeletbeli csapatot kell átvezetnie egy folyón. A folyó mentén egyik oldalon 1-től 12-ig számozott helyek vannak, ahová a két csapatot a csapatvezetők tetszés szerint felállíthatják. Mindenkinek át kell jutnia a folyón, de a csapatvezető egyszerre a saját csapatából mindig csak egyvalakit küldhet át a túlpartra: a két kockán dobott pontok összege adja meg, melyik számozott helyen álló csapattag kelhet át a folyón. A tanár mindkét csapatvezetőtől megkérdezi, hogy szerinte mi a legjobb átkelési stratégia: hogyan állítsa fel a csapatát, hogy ők jussanak át előbb.

A csapatvezető dönthet például úgy, hogy csapatának mind a 12 tagját a „legvalószínűbb” 7-es mezőre összpontosítja. Igen ám, de ilyenkor nyilván nem kedvező számukra, ha a dobott számok összegeke éppen 3. Az ábrán egy másik lehetőséget vázoltunk fel. Vajon ez a legjobb választás?

Az óra befejeződhet például úgy, hogy a diákok a felhasznált fogalmaknak kikeresik a meghatározását a fogalomtárból, illetve megjegyzéseket fűznek hozzájuk, milyen definíciók segítenék elő a még jobb megértést. A fogalomtár definícióit a szerkesztők ugyanis egyszerűen javíthatják, illetve finomíthatják – lehet, hogy éppen az Ön osztályának visszajelzései alapján.

A valószínűségszámítás tanításának témakörében több, ehhez hasonló játék áll rendelkezésünkre, melyeket például a fogalomtárból indítható kereső segítségével lelhetünk fel.